[C++] 행렬 곱셈(matrix multiplication) 정의와 그 이유, 구현

행렬의 곱셈

조건

• m x n 행렬 A와 i x j 행려 B가 존재할 때, 행렬 A의 열 크기(n)와 행렬 B의 행 크기(i)가 같아야만 행렬의 곱셈이 가능

정의

• 두 행렬 A와 B가 있을 때, 이 둘의 곱 C=A⋅B는 다음과 같이 정의됨

• Cij는 행렬 C의 i번째 행과 j번째 열의 값을 의미하며, 이 값을 구하기 위해 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 각 요소를 곱한 값을 모두 더하면 된다.

ex)​

• 다음과 같은 2x3 행렬 A와 3x2 행렬 B가 있을 때, 행렬 A의 열 크기(3)와 행렬 B의 행 크기(3)가 같으므로 행렬의 곱이 가능
• C=A⋅B일 때, C는 2x2 행렬이며 각 요소는 다음과 같이 계산됨

결과 행렬 C

 

행렬의 곱을 이렇게 정의하는 이유

선형변환(Linear Transformation)

• 선형적(직선으로) 변화하는 것
• 선형 변환은 벡터 공간에서 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 함수

행렬은 벡터를 다른 벡터로 변환하는 일종의 도구이며 이는 선형 변환을 나타낼 수 있다는 뜻이며, 다음 예와 같이 행렬의 곱셈으로 쉽게 구성할 수 있음

선형변환 T에 대해 T(x) = Ax인 행렬 A가 있고, 선형변환 L(x) = Bx 일 때,
(LºT)(x) = BAx 임이 증명되어 있음

 

C++ 구현

이를 C++로 구현하면 다음과 같다

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<vector<int>> solution(vector<vector<int>> A, vector<vector<int>> B) {
    vector<vector<int>> C;
    int A_row = A.size(), A_column = A[0].size(), B_row = B.size(), B_column = B[0].size();
    if (A_column != B_row) {
        cout << "Can't multiply the matrices." << endl;
        return {};
    }
    for (int i = 0; i < A_row; i++) {
        vector<int> vec;
        for (int j = 0; j < B_column; j++) {
            int c = 0;
            for (int k = 0; k < A_column; k++) {
                c += A[i][k] * B[k][j];
            }
            vec.push_back(c);
        }
        C.push_back(vec);
    }
    return C;
}

int main() {
    vector<vector<int>> A = {
        {1, 2, 3},
        {4, 5, 6}
    };

    vector<vector<int>> B = {
        {7, 8},
        {9, 10},
        {11, 12}
    };

    vector<vector<int>> C = solution(A, B);

    cout << "C:" << endl;
    for (const auto& row : C) {
        for (int val : row) {
            cout << val << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}